Геометрия 9 класс: Доказательство прямоугольности четырёхугольника

Для начала, давайте разберёмся с координатами вершин четырёхугольника KLMN:

• Вершина K имеет координаты (0; 1)
• Вершина L имеет координаты (-2; 4)
• Вершина M имеет координаты (4; 8)
• Вершина N имеет координаты (6; 5)

1. Доказательство прямоугольности четырёхугольника: Для того чтобы доказать, что четырёхугольник KLMN является прямоугольником, нам необходимо проверить, являются ли его стороны перпендикулярными. Для этого вычислим угловые коэффициенты противоположных сторон:
   • Сторона KL: угловой коэффициент = (4-1)/(-2-0) = 3/-2 = -3/2
   • Сторона MN: угловой коэффициент = (5-8)/(6-4) = -3/2

Таким образом, угловые коэффициенты противоположных сторон равны, что означает, что стороны KL и MN параллельны и четырёхугольник KLMN является прямоугольником.

2. Найдем косинус угла между диагоналями: Диагонали прямоугольника KLMN пересекаются в его центре. Найдем координаты центра прямоугольника:
   • x = (0 + 6)/2 = 3
   • y = (1 + 5)/2 = 3

Теперь найдем длины диагоналей:

• Диагональ KM: √((4-0)^2 + (8-1)^2) = √(16 + 49) = √65
• Диагональ LN: √((-2-6)^2 + (4-5)^2) = √(64 + 1) = √65

Теперь найдем косинус угла между диагоналями по формуле: cos(α) = (KM^2 + LN^2 - MN^2)/(2 KM LN) cos(α) = (65 + 65 - 25)/(2 √65 √65) = 105/130 = 0.8077

3. Найдем площадь прямоугольника: Для этого воспользуемся формулой площади прямоугольника: S = |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))/2| S = |(0(4-8) + (-2(5-1) + 4(1-4))/2| = |(-8 - 8 - 12)/2| = 14

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник KLMN является прямоугольником, нашли косинус угла между его диагоналями (0.8077) и площадь прямоугольника (14).